CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în probleme de matematică, a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2. 2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi

interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd

•  Inducţia matematică

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt funcţii, şiruri, progresii

2. 2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3. 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionamentul inductiv

4. 4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5. 5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe prin raţionament de tip inductiv

6. 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe

Şiruri

•  Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone

•  Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

•  Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n � 3

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor

3. 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. 4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

6. 6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu m

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de

  corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

•  Funcţii numerice F  f : D ➔   D ;

reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia

cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma f  x  g  x, �, , ,  ; proprietăţi ale

funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate, simetria graficului faţă de drepte de forma x  m , m , periodicitate

•  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii

4. 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6. 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

  

  f : , f  x  ax  b , unde a,b  ,

  intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f  x1  f  x2 

  (sau prin studierea semnului raportului

  

  f  x1   f  x2  , x , x  , x  x )

  

  x1  x2 1 2 1 2

•  Inecuaţii de forma ax  b� O (, ,) studiate pe sau pe intervale de numere reale

  

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de ecuaţii de

  tipul  ax  by  c , a,b,c, m, n, p numere reale

  �mx  ny  p

  

•  Sisteme de inecuaţii de gradul I

1. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2. 2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II- lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6. 6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : , f  x  ax2  bx  c , cu a,b,c  şi a  O intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  

  ecuaţia f  x  O , simetria faţă de drepte de forma

  

  x  m , cu m

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

x  y  S , cu S, p 

� xy  p



1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2. 2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3. 3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice

pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f  x1  f  x2  sau prin rata creşterii

  /descreşterii: f  x1   f  x2  , x , x  , x  x ,

  

  

  

  

  x1  x2 1 2 1 2

  punct de extrem, vârful parabolei

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul

funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c � O (,, ) , a,b,c  O , studiate pe sau pe intervale de numere reale, interpretare geometrică:

6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare

imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă pe axa Oy )

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  mx  n  y ,

�ax2  bx  c  y



a,b,c, m, n

1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2. 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

3. 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

4. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

5. 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice

6. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie a unui punct

•  Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

•  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. 1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4. 4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

•  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin :O, 2  ➔1,1 ,

  cos :O, 2  ➔1,1 , tg :O,  \   ➔ ,

  

  � 2 �

   

  

  ctg : O,  ➔

•  Definirea funcţiilor trigonometrice:

  sin : 1,1, tg : ,

  cu D    k k  , ctg : , cu

  � 2 �

  

   

  D k k 

•  Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin a  b , sin a  b , cosa  b , cosa  b , sin 2a , cos 2a , sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cosb ,

cos a  cosb (transformarea sumei în produs)

1. 1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. 2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3. 3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia

4. 4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

•  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

•  Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. 2. Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

•  Radical de ordin n ( n  şi n  2 ) dintr-un număr, proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale

  

  

  logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

•  Mulţimea . Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real

  

•  Rezolvarea în a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere cu exponent natural: f : D ,

  

  

  

  

  

  f  x  xn, n  , n  2 şi

  funcţia radical: f : D ➔ , f  x  n x, n  şi n  2 , unde D  O,  pentru n par şi D  pentru n impar

•  Funcţia exponenţială: f :  ,

  

  

  f  x  ax , a O, , a  1 şi funcţia logaritmică: f : O,  ➔ , f  x  loga x , a O, , a  1

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

•  Funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile

funcţiilor:

1. 1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

3. 3. Ecuaţii trigonometrice:

sin x  a , cos x  a , a 1,1 ,

tgx  a , ctgx  a , a  ,

sin f  x  sin g  x , cos f  x  cos g  x ,

tg f  x  tg g  x , ctg f  x  ctg g  x Notă: Pentru toate tipurile de funcţii Se vor Studia: interSecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O ,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn,

convexitate.

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

6. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

•  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor

  f : A ➔ B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Permutări

  • - numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

  • - numărul funcţiilor bijective f : A ➔ B , unde

    A şi B sunt mulţimi finite

•  Aranjamente

  • - numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k  n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

  • - numărul funcţiilor injective f : A ➔ B , unde

    A şi B sunt mulţimi finite

•  Combinări - numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde O  k  n , ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

•  Binomul lui Newton

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de coSt al unui produS, amortizări de inveStiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget perSonal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice

analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Permutări

•  Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi

•  Inversiuni, semnul unei permutări

  Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinant de ordin n, proprietăţi

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din , 4

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

•  Studiul compatibilităţii şi rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea Rouche, metoda Gauss

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

1. 1. Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5. 5. Studierea unor funcţii din punct de vedere

cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse procedee: majorări sau minorări pe un interval

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile  şi 

•  Funcţii reale de variabilă reală: funcţia polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Limita unui şir utilizând vecinătăţi, şiruri convergente

•  Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui

dat, proprietăţi algebrice şi de ordine ale mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizare a reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi/sau pentru identificarea unor proprietăţi

1. 6. Explorarea unor proprietăţi cu caracter local şi/sau global ale unor funcţii utilizând reprezentarea grafică, continuitatea sau derivabilitatea

   Note:

   • - În introducerea noţiunilor de limită a unui şir într-un punct şi de şir convergent nu Se vor introduce definiţiile cu  şi nici teorema de convergenţă cu  .

   • - Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui .", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonStraţie eSte în afara programei.

Weierstrass. Exemple semnificative: an  ,

n

na  , 1  1 n  (fără demonstraţie), numărul

n  n  

  

 n

e; limita şirului 1  u  1  , u ➔ O , u  O ,

 n un  n n

 n

pentru orice număr natural n

•  Operaţii cu şiruri care au limită

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

•  Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii:

  

  O ,  , , O, 1 , O, OO O 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, oblice

  Continuitate

•  Continuitatea unei funcţii într-un punct al domeniului de definiţie, funcţii continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe dreapta reală pentru funcţiile studiate, operaţii cu funcţii continue

•  Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale, studiul existenţei soluţiilor unor ecuaţii în

  Derivabilitate

•  Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi al II- lea pentru funcţiile studiate

•  Funcţii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcţii într-un punct

•  Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: monotonia funcţiilor, puncte de extrem

•  Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

•  Regulile lui l Hospital

  Reprezentarea grafică a funcţiilor

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

•  Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea reprezentării grafice a funcţiilor în determinarea numărului de soluţii ale unei ecuaţii

•  Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă)

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care este înzestrată o mulţime

2. 2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor dintre proprietăţile unor operaţii definite pe mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi cel cu numere

1. 3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Folosirea descompunerii în factori a polinomelor, în probleme de divizibilitate şi în rezolvări de ecuaţii

4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în calcule specifice unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică

2. 5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică condiţii date

1. 6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza proprietăţilor operaţiilor

2. 6.2. Modelarea unor situaţii practice, utilizând noţiunea de polinom sau de ecuaţie algebrică

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

•  Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică), tabla operaţiei, parte stabilă

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

•  Subgrup

•  Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui element

•  Morfism, izomorfism de grupuri

  Inele şi corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( , , , ),

  

  , inele de matrice, inele de funcţii reale

•  Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ),

  

  

  , p prim

•  Morfisme de inele şi de corpuri

  Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( , , , , p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, funcţia polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

•  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete

•  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în , , , , ecuaţii binome, ecuaţii bipătrate,

ecuaţii reciproce

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legături cu reguli de derivare

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. 5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un interval

1. 6.1. Utilizarea proprietăţilor de monotonie a integralei în estimarea valorii unei integrale definite şi în probleme cu conţinut practic

2. 6.2. Modelarea comportării unei funcţii prin utilizarea primitivelor sale

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

•  Probleme care conduc la noţiunea de integrală

  Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii, proprietăţi ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

  Integrala definită

•  Diviziuni ale unui interval a,b , norma unei

  diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume Riemann, interpretare geometrică. Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un interval a,b

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare.

•  Formula Leibniz - Newton

•  Integrabilitatea funcţiilor continue, teorema de

medie, interpretare geometrică, teorema de existenţă a primitivelor unei funcţii continue

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

  b P(x) dx , gradQ  4 prin metoda

   Q(x)

  a

  descompunerii în fracţii simple

  Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumul unui corp de rotaţie

•  Calculul unor limite de şiruri folosind integrala definită

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau

„regulă", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui

demonStraţie eSte în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în

   probleme de matematică, a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2. 2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în contexte variate

3. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real şi utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate); raţionament prin reducere la absurd

•  Inducţia matematică

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt

   funcţii, şiruri, progresii

2. 2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor în scopul caracterizării acestora

3. 3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare şi raţionamentul inductiv

4. 4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi algebrice ale acestora

5. 5. Analizarea unor valori particulare în vederea determinării formei analitice a unei funcţii definite pe prin raţionament de tip inductiv

   

   

6. 6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj matematic utilizând funcţii definite pe

Şiruri

•  Modalităţi de a defini un şir, şiruri mărginite, şiruri monotone

•  Şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general în funcţie de un termen dat şi raţie, suma primilor n termeni ai unei progresii

•  Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n  3

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind

   reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin utilizarea unor modalităţi variate de descriere a funcţiilor

3. 3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite moduri şi caracterizarea calitativă a acestor reprezentări

4. 4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a ecuaţiilor asociate

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

6. 6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea lor cu ajutorul funcţiilor

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x  m sau y  m , cu m

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de

  

  corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale unei funcţii

•  Funcţii numerice F  f : D ➔   D ; reprezentarea geometrică a graficului: intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări grafice ale unor

ecuaţii şi inecuaţii de forma f  x  g  x ,

(, , , ) ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: paritate/imparitate,

simetria graficului faţă de drepte de forma x  m ,

m , periodicitate

•  Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii numerice

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii

4. 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6. 6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

  

  f : , f  x  ax  b , unde a,b  ,

  intersecţia graficului cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul funcţiei; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f  x1  f  x2 

  (sau prin studierea semnului raportului

  

  f  x1   f  x2  , x , x  , x  x )

  

  x1  x2 1 2 1 2

•  Inecuaţii de forma ax  b O (, ,) studiate pe sau pe intervale de numere reale

  

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de ecuaţii de

  tipul  ax  by  c , a,b,c, m, n, p 

  

  �mx  ny  p

  

•  Sisteme de inecuaţii de gradul I

1. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2. 2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II- lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6. 6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor probleme şi în modelarea unor procese

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : , f  x  ax2  bx  c , cu a,b,c  şi a  O , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  

  ecuaţia f  x  O , simetria faţă de drepte de forma

  

  x  m , cu m

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

x  y  S , cu S, p 

� xy  p



1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2. 2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite condiţii precizate

3. 3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor acestora

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; studiul monotoniei prin semnul diferenţei f  x1  f  x2  sau prin rata creşterii

  /descreşterii: f  x1   f  x2  , x , x  , x  x ,

  

  

  

  

  x1  x2 1 2 1 2

  punct de extrem, vârful parabolei

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul

funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  O ,

(, , ) , a, b, c  O , studiate pe sau pe

intervale de numere reale, interpretare geometrică: imagini ale unor intervale (proiecţiile unor porţiuni

6. Interpretarea informaţiilor conţinute în reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, aproximări şi strategii de optimizare

de parabolă pe axa Oy )

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  mx  n  y ,

�ax2  bx  c  y



a,b,c, m, n

1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. 2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în contexte geometrice date

3. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a descrie o problemă practică

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraţii geometrice

5. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

6. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme de fizică

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2. 2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a unei configuraţii geometrice date

3. 3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concurenţă sau paralelism

4. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) într-o configuraţie geometrică dată

5. 5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau paralelismului în relaţie cu proprietăţile sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii geometrice

6. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor

vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie a unui punct

•  Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

•  Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. 1. Identificarea legăturilor între coordonate unghiulare, coordonate metrice şi coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. 2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce utilizând relaţii trigonometrice

3. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4. 4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice plane utilizând calculul trigonometric

5. 5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. 6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor

Elemente de trigonometrie

•  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin :O, 2  ➔1,1 ,

  cos :O, 2  ➔1,1 , tg :O,  \   ➔ ,

  

  � 2 

   

  

  ctg : O,  ➔

•  Definirea funcţiilor trigonometrice:

  sin : 1,1, tg : ,

  cu D    k k  , ctg : , cu

  � 2 

  

   

  D k k 

•  Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin a  b , sin a  b , cosa  b , cosa  b , sin 2a , cos 2a , sin a  sin b , sin a  sin b , cos a  cosb ,

cos a  cosb (transformarea sumei în produs)

1. 1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea problemelor de geometrie

2. 2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distanţe, a unor măsuri de unghiuri şi a unor arii

3. 3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia

4. 4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. 5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de arii

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând metode vectoriale sau sintetice

Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului scalar a doi vectori în geometria plană

•  Produsul scalar a doi vectori: definiţie, proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor oarecare

•  Calcularea razei cercului înscris şi a razei cercului circumscris în triunghi, calcularea lungimilor unor segmente importante din triunghi, calcularea unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. 2. Determinarea echivalenţei între forme diferite de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea numerelor reale

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea unor calcule şi în rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex în funcţie de contexte în vederea optimizării calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

•  Radical de ordin n ( n  şi n  2 ) dintr-un număr, proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale

  

  

  logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

•  Mulţimea . Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii acestora cu un număr real

  

•  Rezolvarea în a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

5. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

6. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere cu exponent natural: f : D , f  x  xn, n  şi n  2 şi funcţia radical: f : D ➔ , f  x  n x, n  şi n  2 , unde

  

  

  

  

  

  D  O,  pentru n par şi D  pentru n

  impar

•  Funcţia exponenţială: f :  ,

  

  f  x  ax , a O, , a  1 şi funcţia logaritmică: f : O,  ➔ , f  x  loga x , a O, , a  1

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

•  Funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

1. 1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

2. 2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice

3. 3. Ecuaţii trigonometrice:

sin x  a , cos x  a , a 1,1 ,

tgx  a , ctgx  a , a  ,

sin f  x  sin g  x , cos f  x  cos g  x ,

tg f  x  tg g  x , ctg f  x  ctg g  x Notă: Pentru toate tipurile de funcţii Se vor Studia: interSecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O ,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor:

monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea, în moduri diferite, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică

6. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

•  Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor

  f : A ➔ B , unde A şi B sunt mulţimi finite

•  Permutări

  • - numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente

  • - numărul funcţiilor bijective f : A ➔ B , unde

    A şi B sunt mulţimi finite

•  Aranjamente

  • - numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente fiecare, k  n , care se pot forma cu cele n elemente ale unei mulţimi finite

  • - numărul funcţiilor injective f : A ➔ B , unde

    A şi B sunt mulţimi finite

•  Combinări - numărul submulţimilor cu câte k elemente, unde O  k  n , ale unei mulţimi finite cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor complementare, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

•  Binomul lui Newton

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin analogie cu modul de comportare în situaţii

studiate

Matematici financiare

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de coSt al unui produS, amortizări de inveStiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget perSonal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector

relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

1. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

2. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

3. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

4. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan; calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din ,  2,3

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

•  Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

1. 1. Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei funcţii

5. 5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6. 6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Elemente de analiză matematică Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile  şi 

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

•  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere ( n  2,3 ), funcţia

  

  radical ( n  2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2; cazuri exceptate la calculul

  limitelor de funcţii: O ,  , O 

  

  

  O 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

  Funcţii continue

•  Continuitatea unei funcţii într-un punct al domeniului de definiţie, funcţii continue,

interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

•  Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale

  Funcţii derivabile

•  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

•  Operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru funcţiile studiate

•  Regulile lui l Hospital pentru cazurile O , 

  

  O 

  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

•  Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

Notă:

- Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui .", pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonStraţie eSte în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice

1. 2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2. 2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri

1. 3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice

2. 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

1. 6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

2. 6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

•  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

•  Morfism şi izomorfism de grupuri

  Inele şi corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( , , , ), , inele de matrice, inele de funcţii reale

•  Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ), ,

  

  p prim

  Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ ( , , , , p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout;

c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame în factori ireductibili

•  Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 4

  

•  Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având coeficienţi în , , , , ecuaţii binome, ecuaţii bipătrate, ecuaţii reciproce

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. 5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a volumului unui corp, folosind calculul integral şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. 6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practice

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

•  Probleme care conduc la noţiunea de integrală

  Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

  Integrala definită

•  Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz-Newton

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

  b P(x) dx , gradQ  4 prin metoda descompunerii

   Q(x)

  a

  în fracţii simple

  Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumului unui corp de rotaţie

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau „regulă" pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat

matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonStraţie eSte în afara programei.

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme de matematică a unor noţiuni specifice logicii matematice şi teoriei mulţimilor

2. 2. Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a operaţiilor logice în scopul identificării unor proprietăţi ale acestora

3. 3. Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea unor operaţii cu numere reale, cu mulţimi, cu propoziţii/predicate

4. 4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente logice

5. 5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi

interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, incluziune, egalitate)

•  Inducţia matematică

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2. 2. Calcularea valorilor unor şiruri care modelează situaţii practice în scopul caracterizării acestora

3. 3. Alegerea şi utilizarea unor modalităţi adecvate de calculare a elementelor unui şir

4. 4. Interpretarea grafică a unor relaţii provenite din probleme practice

5. 5. Analizarea datelor în vederea aplicării unor formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip inductiv în rezolvarea problemelor

6. 6. Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui şir în funcţie de context

Şiruri

•  Modalităţi de a descrie un şir; şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

•  Condiţia ca n numere să fie în progresie aritmetică sau geometrică, pentru n  3

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii utilizând reprezentările grafice

3. 3. Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate de reprezentare grafică în vederea evidenţierii unor proprietăţi ale funcţiilor

4. 4. Exprimarea monotoniei unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6. 6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x  m sau de forma y  m , m

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de

  corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii

•  Funcţii numerice f : / ➔ , / interval de numere reale; graficul unei funcţii, reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu

axele de coordonate, interpretarea grafică a unor ecuaţii de forma f  x  g  x ; proprietăţi ale

funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică: mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau origine),

periodicitate

•  Compunerea funcţiilor; exemple de funcţii numerice

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii

4. 4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I şi reprezentarea ei geometrică

5. 5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei

6. 6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei

situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

  

  f : , f  x  ax  b , unde a,b  , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  ecuaţia f  x  O

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

•  Inecuaţii de forma ax  b O (, ,) , a,b  , studiate pe

•  Poziţia relativă a două drepte, sisteme de tipul

 ax  by  c , a,b,c, m, n, p numere reale

mx  ny  p



1. 1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare de cea pătratică

2. 2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al II- lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaţii

6. 6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : , f  x  ax2  bx  c cu a,b,c  şi a  O , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  

  ecuaţia f  x  O , simetria faţă de drepte de forma

  

  x  m cu m

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

x  y  S , cu S, p 

 xy  p



1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de date şi reprezentări grafice

2. 2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor

3. 3. Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Determinarea unor relaţii între condiţii algebrice date şi graficul funcţiei de gradul al II-lea

6. 6. Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem în optimizarea rezultatelor unor probleme

practice

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul

  funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  O (,, ) , a,b,c  , a  O , interpretare geometrică

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  mx  n  y ,

ax2  bx  c  y



cu a,b,c, m, n , interpretare geometrică

1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. 2. Aplicarea regulilor de calcul pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3. 3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale

descrie configuraţii geometrice date

1. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie anumite configuraţii geometrice

2. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o configuraţie geometrică să verifice cerinţe date

3. 6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea unor probleme din domenii conexe

înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori

1. 1. Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2. 2. Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3. 3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii unor segmente utilizând relaţii metrice

4. 4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi geometriei a unor probleme practice

5. 5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului oarecare

6. 6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Trigonometrie şi aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

•  Rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Cercul trigonometric, definirea funcţiilor trigonometrice: sin :O, 2  ➔1,1 ,

  cos :O, 2  ➔1,1 , tg :O,  \   ➔ ,

  

   2 

   

  

  ctg : O,  ➔

•  Definirea funcţiilor trigonometrice:

  

  sin : 1,1,

  

  tg : , cu D    k k  ,

  

  

   2 

  

   

  

  ctg : , cu D k k 

•  Reducerea la primul cadran; formule trigonometrice: sin a  b , sin a  b , cosa  b , cosa  b , sin 2a , cos 2a ,

•  Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a

măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte specifice

2. 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali, logaritmi în contexte variate

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real în vederea optimizării calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Determinarea unor analogii între proprietăţile operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii

Mulţimi de numere

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul

•  Media aritmetică, media ponderată, media geometrică, media armonică

•  Radical unui număr (de ordin sau de ordin 3), proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

•  Mulţimea . Numere complexe sub formă algebrică, conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere complexe. Rezolvarea în

a ecuaţiei de gradul al doilea având coeficienţi reali

1. 1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, bijectivitate, inversabilitate, continuitate, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere: f : , f  x  xn, n  ,

n  2 şi

funcţia radical: f : D ➔ , f  x  n x ,

n  2,3 , unde D  O,  pentru n par şi

1. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete şi reprezentarea prin grafice a unor funcţii care descriu situaţii practice

2. 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor

3. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii algebrice

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii Se vor Studia: interSecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O ,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate.

D  pentru n impar

•  Funcţia exponenţială f :  ,

  f  x  ax , a O, , a  1 şi

  funcţia logaritmică f : O,  ➔ ,

  

  f  x  loga x , a O, , a  1

•  Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversabilă

•  Funcţii trigonometrice directe şi inverse

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  • - Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

  • - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea de ecuaţii algebrice

1. 1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise

2. 2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii-problemă date

3. 3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare

5. 5. Interpretarea unor situaţii-problemă având conţinut practic, cu ajutorul elementelor de combinatorică

6. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor probleme în scopul optimizării rezultatelor

Metode de numărare

•  Mulţimi finite: permutări, aranjamente, combinări, numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a graficelor şi a diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabailităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice, probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice

•  Interpretarea datelor statistice prin lectura reprezentărilor grafice

•  Evenimente aleatoare egal probabile; probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, preţ de coSt al unui produS, amortizări de inveStiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget perSonal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic

   sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un

caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

1. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

2. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinate de două puncte distincte

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte în plan; linii importante în triunghi, calcularea unor distanţe

şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în situaţii practice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici

5. 5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau compatibilitate a unor sisteme şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. 6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi metode adecvate (de tip algebric, vectorial, analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din ,  2,3

•  Ecuaţii matriceale

•  Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

•  Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi şi coliniaritatea a trei puncte în plan

1. 1. Caracterizarea unor funcţii utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare

2. 2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajutorul reprezentărilor grafice

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenţial în rezolvarea unor probleme

4. 4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăţi cantitative şi calitative ale unei funcţii

5. 5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii pentru verificarea unor rezultate şi pentru identificarea unor proprietăţi

6. 6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin aplicarea calculului diferenţial în probleme practice

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietatea lui ...",

„regula lui ." pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonStraţie eSte în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Limite de funcţii

•  Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, dreapta încheiată, simbolurile  şi 

•  Limite de funcţii: interpretarea grafică a limitei unei funcţii într-un punct utilizând vecinătăţi, limite laterale

•  Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică, exponenţială, funcţia putere ( n  2,3 ), funcţia

  

  radical ( n  2,3 ), funcţia raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri exceptate la calculul

  limitelor de funcţii: O ,  , O

  

  O 

•  Asimptotele graficului funcţiilor studiate: asimptote verticale, orizontale şi oblice

  Funcţii continue

•  Continuitatea unei funcţii într-un punct al domeniului de definiţie, funcţii continue, interpretarea grafică a continuităţii unei funcţii, operaţii cu funcţii continue

•  Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii continue pe un interval de numere reale

  Funcţii derivabile

•  Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii într-un punct, funcţii derivabile

•  Operaţii cu funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea pentru funcţiile studiate

•  Regulile lui l Hospital pentru cazurile O , 

  O 

  Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor

•  Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate

•  Reprezentarea grafică a funcţiilor

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice

1. 2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

2. 2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor unei structuri algebrice

1. 3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este morfism sau izomorfism

2. 3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice

4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei structuri algebrice

1. 5.1. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme practice

2. 5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii algebrice care îndeplinesc condiţii date

1. 6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind structuri algebrice sau calcul polinomial

2. 6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica

numerelor

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

Grupuri

•  Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei

•  Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

•  Morfism şi izomorfism de grupuri

  Inele si corpuri

•  Inel, exemple: inele numerice ( , , , ),

•  Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ),

  

  

  , p prim

  Inele de polinoame cu coeficienţi intr-un corp comutativ ( , , , , p prim)

•  Forma algebrică a unui polinom, operaţii (adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar)

•  Teorema împărţirii cu rest; împărţirea polinoamelor, împărţirea cu X  a , schema lui Horner

•  Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bezout

•  Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui Viete pentru polinoame de grad cel mult 3

1. 1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie continuă şi derivata sau primitiva acesteia

2. 2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului integral, prin analogie cu proprietăţi ale calculului diferenţial

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. 4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor definite, în scopul optimizării soluţiilor

5. 5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a volumului unui corp, folosind calculul integral şi compararea rezultatelor cu cele obţinute prin aplicarea unor formule cunoscute din geometrie

6. 6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în probleme practic

Notă: Se utilizează exprimarea „proprietate" Sau

„regulă" pentru a Sublinia faptul că Se face referire la un rezultat matematic utilizat în aplicaţii, dar a cărui demonStraţie eSte în afara programei.

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

Primitive (antiderivate)

•  Primitivele unei funcţii definite pe un interval. Integrala nedefinită a unei funcţii continue, proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. Primitive uzuale

  Integrala definită

•  Definirea integralei Riemann a unei funcţii continue prin formula Leibniz - Newton

•  Proprietăţi ale integralei definite: liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare

•  Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare de variabilă. Calculul integralelor de forma

  b P(x) dx , gradQ  2

   Q(x)

  a

  Aplicaţii ale integralei definite

•  Aria unei suprafeţe plane

•  Volumului unui corp de rotaţie

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme a unor noţiuni specifice logicii matematice şi/sau a teoriei mulţimilor

2. 2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii matematice sau al teoriei mulţimilor

3. 3. Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, reprezentari pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru efectuarea unor operaţii

4. 4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi folosind limbajul logicii matematice

5. 5. Redactarea rezolvării unor probleme, corelând limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi/sau al teoriei mulţimilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii cotidiene în limbaj

matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

Mulţimi şi elemente de logică matematică

•  Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere reale

•  Propoziţie, predicat, cuantificatori

•  Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune,

incluziune, egalitate)

1. 1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt şiruri, progresii aritmetice sau geometrice

2. 2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondenţe, şiruri în scopul caracterizării acestora

3. 3. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază de raţionamente de tip inductiv

4. 4. Exprimarea caracteristicilor unor şiruri folosind diverse reprezentări (formule, diagrame, grafice)

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale şirurilor folosind diferite reprezentări sau raţionamente de tip inductiv

6. 6. Asocierea unei situaţii-problemă cu un model matematic de tip şir, progresie aritmetică sau

geometrică

Şiruri

•  Modalităţi de a descrie un şir; şiruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, determinarea termenului general al unei progresii; suma primilor n termeni ai unei progresii

1. 1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind reprezentarea grafică a acesteia

2. 2. Identificarea unor puncte semnificative de pe graficul unei funcţii

3. 3. Folosirea unor proprietăţi ale funcţiilor pentru completarea graficului unei funcţii pare, impare sau periodice

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza lecturii grafice

5. 5. Reprezentarea graficului prin puncte şi aproximarea acestuia printr-o curbă continuă

6. 6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor numerice prin lectură grafică

Funcţii; lecturi grafice

•  Reper cartezian, produs cartezian, reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan de forma x  m sau de forma y  m, m

•  Funcţia: definiţie, exemple, exemple de

  corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de a descrie o funcţie, lectură grafică; egalitatea a două funcţii, imaginea unei funcţii, graficul unei funcţii

•  Funcţii numerice f : / ➔ , / interval de numere reale; graficul unei funcţii, reprezentarea geometrică a graficului, intersecţia graficului cu

axele de coordonate, interpretarea grafică a unor

ecuaţii de forma f  x  g  x ; proprietăţi ale funcţiilor numerice introduse prin lectură grafică:

mărginire, monotonie, paritate/imparitate (simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă de

origine), periodicitate

1. 1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în moduri diferite

2. 2. Identificarea unor metode grafice pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii

3. 3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii şi din reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I

4. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie prin funcţii de gradul I, ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii

5. 5. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a condiţiilor pentru ca diverse date să fie caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I

6. 6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului

Funcţia de gradul I

•  Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei

  

  f : , f  x  ax  b , unde a,b  , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  ecuaţia f  x  O

•  Interpretarea grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul funcţiei

•  Inecuaţii de forma ax  b O,(, ,), a, b

  

  

  studiate pe

•  Poziţia relativă a două drepte; sisteme de tipul

 ax  by  c , a,b,c, m, n, p 

mx  ny  p



1. 1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin exemple

2. 2. Completarea unor tabele de valori necesare pentru trasarea graficului

3. 3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului (trasarea prin puncte semnificative)

4. 4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin condiţii algebrice sau geometrice

5. 5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor sisteme

6. 6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii

Funcţia de gradul al II-lea

•  Reprezentarea grafică a funcţiei f : , f  x  ax2  bx  c , a,b,c  , a  O , intersecţia graficului cu axele de coordonate,

  

  ecuaţia f  x  O , simetria faţă de drepte de

  

  forma x  m , cu m

•  Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de forma

x  y  S , cu S, p 

 xy  p



1. 1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de

   date şi reprezentări grafice

2. 2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în vederea comparării variaţiei lor

3. 3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii

4. 4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii algebrice a unor reprezentări grafice

5. 5. Interpretarea unei configuraţii din perspectiva poziţiei relative a unei drepte faţă de o parabolă

6. 6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea optimizării rezolvării unor probleme practice

Interpretarea geometrică a proprietăţilor algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea

•  Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, interpretare geometrică

•  Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox , semnul

  funcţiei, inecuaţii de forma ax2  bx  c  O (,, ) , cu a,b,c  , a  O , interpretare geometrică

•  Poziţia relativă a unei drepte faţă de o parabolă:

rezolvarea sistemelor de forma  mx  n  y ,

ax2  bx  c  y



a,b,c, m, n , interpretare geometrică

1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorială în diferite contexte

2. 2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru determinarea caracteristicilor unor segmente orientate pe configuraţii date

3. 3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe configuraţii geometrice date

4. 4. Utilizarea limbajului calculului vectorial

pentru a descrie anumite configuraţii geometrice

Vectori în plan

•  Segment orientat, vectori, vectori coliniari

•  Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar, condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

1. 5. Identificarea condiţiilor necesare pentru efectuarea operaţiilor cu vectori

2. 6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea proprietăţilor unor configuraţii geometrice date

1. 1. Descrierea sintetică sau vectorială a proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan

2. 2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei configuraţii geometrice plane date

3. 3. Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie metrică

4. 4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea vectorială (şi invers) a unei configuraţii geometrice date

5. 5. Determinarea condiţiilor necesare pentru coliniaritate, concurenţă sau paralelism

6. 6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială şi sintetică ale aceleiaşi probleme

Coliniaritate, concurenţă, paralelism calcul vectorial în geometria plană

•  Vectorul de poziţie a unui punct

•  Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

•  Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

1. 1. Identificarea elementelor necesare pentru calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri

2. 2. Utilizarea unor tabele şi a unor formule pentru calcule în trigonometrie şi în geometrie

3. 3. Aplicarea teoremelor şi a formulelor pentru determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri)

4. 4. Transpunerea într-un limbaj specific trigonometriei şi/sau geometriei a unor probleme practice

5. 5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare

6. 6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor

obţinute prin rezolvarea unor probleme practice

Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie

•  Rezolvarea triunghiului dreptunghic

•  Formulele (fără demonstraţie):

  cos18O x  cos x ; sin 18O x  sin x

•  Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi teorema cosinusului

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate în algebră şi a formei de scriere a unui număr real în contexte variate

2. 2. Compararea şi ordonarea numerelor reale utilizând metode variate

3. 3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu puteri, radicali şi logaritmi în contexte variate

4. 4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real pentru optimizarea calculelor

5. 5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor

6. 6. Analizarea validităţii unor afirmaţii prin utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau a

regulilor de calcul

Numere reale

•  Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru numere reale

•  Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), proprietăţi ale radicalilor

•  Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de logaritmare

1. 1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în diverse moduri

2. 2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin graficul unei funcţii în scopul deducerii unor proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, bijectivitate, semn, convexitate)

3. 3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în calcule

şi aproximări, prin metode diverse

Funcţii şi ecuaţii

•  Funcţia putere: f : D , f  x  xn, n  ,

n  2 şi

funcţia radical: f : D ➔ , f  x  n x , n  2,3 , unde D  O,  pentru n par şi D  pentru n impar

1. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o variabilă

2. 5. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea optimizării rezultatului

3. 6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi inversabilitate în trasarea unor grafice şi în rezolvarea unor ecuaţii

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii Se vor Studia: interSecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f  x  O ,

reprezentarea grafică prin puncte, Simetrie, lectura grafică a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inverSabilitate, Semn, convexitate

•  Funcţia exponenţială f :  ,

  

  

  f  x  ax , a O,  , a  1 şi

  funcţia logaritmică f : O,  ➔ ,

  f  x  loga x , a O, 

•  Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile funcţiilor:

  • - Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau de ordinul 3

  • - Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, utilizarea unor substituţii care conduc la rezolvarea unor ecuaţii algebrice

1. 1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau statistic în situaţii concrete

2. 2. Interpretarea primară a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al graficelor şi al diagramelor

3. 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru analiza de caz

4. 4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor probleme practice

5. 5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau probabilistice

6. 6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice în scopul predicţiei comportării unui sistem prin

analogie cu modul de comportare în situaţii studiate

Matematici financiare

•  Probleme de numărare: permutări, aranjamente, combinări

•  Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA

•  Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafică a datelor statistice. Interpretarea datelor statistice

•  Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile

Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: profit, calcularea preţului de coSt al unui produS, amortizări de inveStiţii, tipuri de credite, metode de finanţare, buget perSonal, buget familial.

1. 1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic sau utilizând vectori

2. 2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate

3. 3. Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor distanţe şi a unor arii

4. 4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a caracteristicilor matematice ale unei configuraţii geometrice

5. 5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu paralelismul şi minimul distanţei

6. 6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

•  Reper cartezian în plan, coordonatele unui vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, coordonatele produsului dintre un vector şi un număr real coordonate carteziene ale unui punct din plan, distanţa dintre două puncte în plan

•  Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei determinată de două puncte distincte date

•  Condiţii de paralelism, condiţii de perpendicularitate a două drepte din plan, calcularea unor distanţe şi a unor arii

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de numere şi a structurilor algebrice

2. 2. Identificarea unei structuri algebrice prin verificarea proprietăţilor acesteia

3. 3. Compararea proprietăţilor algebrice sau aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse mulţimi în scopul identificării unor algoritmi

4. 4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate cu operaţii prin identificarea organizării

Structuri algebrice

•  Legi de compoziţie, proprietăţi

  

•  Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. Exemple: mulţimile , , , ,

structurale a acestora

5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe

mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi algebrice

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea unor situaţii practice concrete, care necesită asocierea unui tabel de date cu reprezentarea sa matriceală

2. 2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces

3. 3. Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor de calcul cu matrice

4. 4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode diferite de rezolvare şi compararea acestor metode

5. 5. Stabilirea compatibilităţii unor sisteme liniare şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

Elemente de calcul matriceal şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrice

•  Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de matrice

•  Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, înmulţirea unei matrice cu un scalar, proprietăţi

  Determinanţi

•  Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult 3, proprietăţi

  Sisteme de ecuaţii liniare

  

•  Matrice inversabile din ,  2,3 . Ecuaţii matriceale

•  Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar

•  Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare

•  Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de

două puncte distincte, aria unui triunghi şi caracterizarea coliniarităţii a trei puncte în plan

2.1

redactarea diverselor texte, cu scopuri şi destinaţii diverse, adaptându-le la situaţia de comunicare concretă

• - elemente de redactare a unor compuneri pe o anumită temă/urmărind un plan dat sau conceput de elev; părţile componente ale unei compuneri; organizarea planului unei compuneri pe o temă dată; structurarea detaliilor în jurul ideii principale; dispunerea în pagină a diverselor texte; scrierea îngrijită, lizibilă şi corectă;

• - redactarea unor texte reflexive şi imaginative (compuneri care presupun exprimarea propriilor sentimente cu ocazia unui eveniment personal, social sau cultural; evidenţierea unor trăsături ale unui obiect (peisaj, operă de artă, persoană)- într-o descriere;

• - redactarea unor scurte naraţiuni; continuarea unor dialoguri; redactarea unor texte argumentative (susţinerea preferinţelor şi a opiniilor); redactarea unor compuneri având ca suport texte literare studiate sau la prima vedere – rezumat, caracterizare de personaj;

• - motivarea apartenenţei unui text studiat sau la prima vedere la o specie literară sau la un gen literar;

• - prezentarea unui punct de vedere asupra unor secvenţe din texte la prima vedere, pe baza unor cerinţe date (de exemplu: elemente de structură a operei literare, figurile de stil studiate, elemente de versificaţie etc.) sau prin exprimarea argumentată a opiniei personale privind structura textului, semnificaţia titlului, procedeele de expresivitate artistică învăţate şi semnificaţia/mesajul textului dat;

• - exprimarea argumentată a unui punct de vedere

privind un text studiat sau textul la prima vedere; aprecieri personale referitoare la fragmente din textele

studiate sau la prima vedere;

2.2

utilizarea în redactarea unui text propriu a cunoştinţelor de lexic şi de morfosintaxă, folosind adecvat semnele ortografice şi de punctuaţie

• - elemente de lexic studiate în clasele V - VIII;

• - aplicarea corectă a cunoştinţelor de morfosintaxă în exprimarea scrisă;

• - folosirea corectă a semnelor de punctuaţie la nivelul propoziţiei şi al frazei (coordonare, subordonare, incidenţă);

• - enunţul, fraza, părţi de propoziţie şi propoziţii studiate (predicatul şi propoziţia subordonată predicativă, subiectul şi propoziţia subordonată subiectivă; atributul şi propoziţia subordonată atributivă; complementul direct şi propoziţia subordonată completivă directă; complementul indirect şi propoziţia subordonată completivă indirectă; complementele circumstanţiale şi propoziţiile subordonate circumstanţiale corespunzătoare (de loc, de timp, de mod, de cauză, de scop); propoziţia subordonată circumstanţială condiţională, concesivă,

consecutivă; expansiunea şi contragerea.

CENTRUL NAŢIONAL DE EVALUARE ŞI EXAMINARE

Competenţe specifice

Conţinuturi

1. 1. Identificarea caracteristicilor numerelor naturale şi a formei de scriere a unui număr natural în contexte variate

2. 2. Utilizarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în calcule cu numere naturale

3. 3. Selectarea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaţiilor cu numere naturale şi pentru divizibilitatea cu 1O, 2 şi 5

4. 4. Exprimarea, în rezolvarea sau compunerea unor probleme, a soluţiilor unor ecuaţii de tipul: x  a  b ; a  x  b ; x  a  b ( a  O , a divizor al lui b); x : a  b a  O ; a : x  b

   ( x  O , b divizor al lui a) şi a unor inecuaţii de tipul: x  a  b ,  ; x  a  b ,  , unde a este divizor al lui b; x : a  b ,  , cu a  O , unde a şi b sunt numere naturale

5. 5. Deducerea unor proprietăţi ale operaţiilor cu numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute (utilizând ecuaţii, inecuaţii, organizarea datelor) şi interpretarea rezultatului

Numere naturale

•  Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraţie zecimal; şirul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor. Compararea, aproximarea şi ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare

•  Adunarea numerelor naturale; proprietăţi. Scăderea numerelor naturale

•  Înmulţirea numerelor naturale; proprietăţi. Factor comun. Ordinea efectuării operaţiilor; utilizarea parantezelor

•  Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural; compararea puterilor care au aceeaşi bază sau acelaşi exponent

•  Împărţirea, cu rest zero, a numerelor naturale când împărţitorul are mai mult de o cifră

•  Împărţirea cu rest a numerelor naturale

•  Ordinea efectuării operaţiilor

•  Noţiunea de divizor; noţiunea de multiplu. Divizibilitatea cu 1O, 2, 5

•  Media aritmetică a două numere naturale, cu rezultat număr natural

•  Ecuaţii şi inecuaţii în mulţimea numerelor naturale

•  Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi al inecuaţiilor şi probleme de organizare a datelor

1. Identificarea în limbajul cotidian sau în enunţuri matematice a unor noţiuni specifice

Mulţimi

•  Mulţimi: descriere şi notaţii; element, relaţia

teoriei mulţimilor

1. 2. Evidenţierea, prin exemple, a relaţiilor de apartenenţă sau de incluziune

2. 3. Selectarea şi utilizarea unor modalităţi adecvate de reprezentare a mulţimilor şi a operaţiilor cu mulţimi

3. 4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii concrete ce se pot descrie utilizând mulţimile

4. 5. Interpretarea unor contexte uzuale şi/sau matematice utilizând limbajul mulţimilor

5. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj

matematic utilizând mulţimi, relaţii şi operaţii cu mulţimi

dintre element şi mulţime (relaţia de apartenenţă)

•  Relaţia între două mulţimi (relaţia de incluziune); submulţime

•  Mulţimile şi

•  Operaţii cu mulţimi: intersecţie, reuniune,

  

  diferenţă

•  Exemple de mulţimi finite; exemple de mulţimi infinite

1. 1. Identificarea în limbajul cotidian sau în probleme a fracţiilor ordinare şi a fracţiilor zecimale

2. 2. Reprezentarea pe axa numerelor a fracţiilor ordinare şi a fracţiilor zecimale

3. 3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr raţional pozitiv şi utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu fracţii zecimale

4. 4. Exprimarea, în rezolvarea sau compunerea unor probleme, a soluţiilor unor ecuaţii de tipul: x  a  b ; a  x  b ; x  a  b a  O ; x : a  b a  O ; a : x  b  x  O şi a unor inecuaţii de tipul: x  a  b ,  ; x  a  b

   ,  ; x : a  b ,  , cu a  O , unde a şi b sunt numere naturale sau fracţii zecimale finite

5. 5. Interpretarea matematică a unor probleme practice prin utilizarea operaţiilor cu fracţii zecimale şi a ordinii efectuării operaţiilor

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute (utilizând ecuaţii sau inecuaţii) şi interpretarea rezultatului

Numere raţionale mai mari sau egale cu 0, Fracţii ordinare

•  Fracţii echiunitare, subunitare, supraunitare

•  Aflarea unei fracţii dintr-un număr natural; procent

•  Fracţii echivalente. Amplificarea şi simplificarea fracţiilor

•  Adunarea şi scăderea unor fracţii ordinare care au acelaşi numitor

•  Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracţii ordinare

  Fracţii zecimale

•  Scrierea fracţiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 1O, sub formă de fracţii zecimale. Transformarea unei fracţii zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracţie ordinară

•  Aproximări la ordinul zecimilor/sutimilor. Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a fracţiilor zecimale

•  Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule

•  Înmulţirea fracţiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule

•  Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracţii zecimale care are un număr finit de zecimale nenule

•  Ordinea efectuării operaţiilor cu fracţii zecimale finite

•  Împărţirea a două numere naturale cu rezultat fracţie zecimală. Transformarea unei fracţii ordinare într-o fracţie zecimală. Periodicitate

•  Împărţirea unei fracţii zecimale finite la un număr natural nenul. Împărţirea unui număr natural la o fracţie zecimală finită. Împărţirea a două fracţii zecimale finite

•  Transformarea unei fracţii zecimale într-o fracţie ordinară

•  Ordinea efectuării operaţiilor

•  Media aritmetică a două fracţii zecimale finite

•  Ecuaţii şi inecuaţii; probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor

1. 1. Identificarea unor elemente de geometrie şi a unor unităţi de măsură în diferite contexte

2. 2. Caracterizarea prin descriere şi desen a unei configuraţii geometrice date

3. 3. Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) şi a volumelor (cub, paralelipiped dreptunghic) şi exprimarea acestora în unităţi de măsură corespunzătoare

4. 4. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităţilor de măsură

5. 5. Interpretarea unei configuraţii geometrice în sensul recunoaşterii elementelor ei şi a relaţionării cu unităţile de măsură studiate

6. 6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice şi la unităţile de măsură studiate

Elemente de geometrie şi unităţi de măsură

•  Dreapta, segmentul de dreaptă, măsurarea unui segment de dreaptă

•  Unghiul, triunghiul, patrulaterul, cercul: prezentare prin descriere şi desen; recunoaşterea elementelor lor: laturi, unghiuri, diagonale, centrul şi raza cercului

•  Simetria, axa de simetrie şi translaţia: prezentare intuitivă, exemplificare în triunghi, cerc, patrulater

•  Cubul, paralelipipedul dreptunghic: prezentare prin desen şi desfăşurare; recunoaşterea elementelor lor: vârfuri, muchii, feţe

•  Unităţi de măsură pentru lungime; perimetre; transformări

•  Unităţi de măsură pentru arie; aria pătratului şi a dreptunghiului; transformări

•  Unităţi de măsură pentru volum; volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic; transformări

•  Unităţi de măsură pentru capacitate; transformări

•  Unităţi de măsură pentru masă; transformări

•  Unităţi de măsură pentru timp; transformări

•  Unităţi monetare; transformări

Competenţe specific

Conţinuturi

1. 1. Identificarea în exemple, în exerciţii sau în probleme a noţiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c, c.m.m.m.c

2. 2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 1O, 2, 5, 3, 9) pentru descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

3. 3. Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c, c.m.m.m.c a două sau a mai multor numere naturale

4. 4. Exprimarea unor caracteristici ale relaţiei de divizibilitate în mulţimea numerelor naturale, în exerciţii şi probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea

5. 5. Deducerea unor reguli de calcul cu puteri şi a unor proprietăţi ale divizibilităţii în mulţimea numerelor naturale, în exerciţii şi probleme

6. 6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbajul divizibilităţii în mulţimea numerelor naturale, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului

ALGEBRĂ

Mulţimea numerelor naturale

•  Operaţii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

•  Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 1O, 2, 5, 3, 9

•  Numere prime şi numere compuse

•  Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

•  Proprietăţi ale relaţiei de divizibilitate în : a a, pentru orice a  ;

  

  

  

  a bşi b a a  b , pentru orice a,b  ; a bşi b ca c , pentru orice a,b,c  ; a b a k  b , pentru orice a,b, k  ;

  

  a bşi a c a b  c, pentru orice a,b,c 

•  Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime între ele

•  Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; relaţia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.

•  Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea